Potencias y raíz cuadrada en 6.º de Primaria
En 6.º llegan las potencias, una forma corta de escribir multiplicaciones que se repiten, y con ellas su contraria, la raíz cuadrada. Aquí tienes cómo se leen y se calculan, la tabla de cuadrados que conviene saberse y el error que comete casi todo el mundo al principio.
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Qué es una potencia
Una potencia es una multiplicación de factores iguales escrita de forma corta. En vez de 2 × 2 × 2, se escribe 23.
- La base es el número que se repite.
- El exponente, el número pequeño de arriba, dice cuántas veces se repite.
- 5 × 5 × 5 × 5
54 - 7 × 7
72 - 10 × 10 × 10
103
El exponente no multiplica a la base. 23 no es 2 × 3 = 6: es 2 × 2 × 2 = 8. Es el error número uno, así que merece la pena repetirlo en voz alta: «dos al cubo es dos por dos por dos».
Cómo se leen las potencias
| Potencia | Se lee | Vale |
|---|---|---|
| 72 | siete al cuadrado (o elevado a dos) | 49 |
| 23 | dos al cubo (o elevado a tres) | 8 |
| 34 | tres elevado a cuatro (o a la cuarta) | 81 |
| 25 | dos elevado a cinco (o a la quinta) | 32 |
Dos casos especiales: un número elevado a 1 es el mismo número (71 = 7), y el 1 elevado a cualquier número sigue siendo 1 (15 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = 1).
Cuadrados y cubos
¿Por qué se dice «al cuadrado»? Porque 32 son las casillas de un cuadrado de 3 por 3. Y «al cubo», porque 23 son los cubitos de un cubo de 2 por 2 por 2: dos pisos de 4.
Por eso el área de un cuadrado es su lado al cuadrado: un cuadrado de 5 cm de lado mide 52 = 25 cm2. Lo tienes explicado en áreas y perímetros. Los cubos más usados son 1, 8, 27, 64 y 125 (de 13 a 53). Los cuadrados del 1 al 12 están en la tabla de la raíz cuadrada, más abajo.
Potencias de 10
Son las más fáciles: 10 elevado a un número es un 1 seguido de tantos ceros como dice el exponente.
- 102
100 - 103
1.000 - 104
10.000 - 106
1.000.000
Sirven para escribir números grandes de forma corta: 3.000.000 = 3 × 106, y 70.000 = 7 × 104.
Descomposición polinómica
Es escribir un número como la suma de cada cifra multiplicada por su potencia de 10:
4.375 = 4 × 103 + 3 × 102 + 7 × 10 + 5
Cada potencia de 10 es el valor de la posición: 103 son las unidades de millar; 102, las centenas, y 10, las decenas. Si hay un cero, ese trozo no se escribe: 6.208 = 6 × 103 + 2 × 102 + 8. En algunos libros también se escribe 7 × 101 + 5 × 100; las dos formas valen. Si necesita repasar el valor de cada cifra, mira la descomposición de números.
La raíz cuadrada
La raíz cuadrada es la operación contraria al cuadrado. La raíz cuadrada de 49 es 7, porque 72 = 49. Se escribe √49 = 7. Para calcularla, se busca qué número multiplicado por sí mismo da el de dentro. Con la tabla de cuadrados es inmediato:
| Número | Su cuadrado | Raíz cuadrada |
|---|---|---|
| 1 | 12 = 1 | √1 = 1 |
| 2 | 22 = 4 | √4 = 2 |
| 3 | 32 = 9 | √9 = 3 |
| 4 | 42 = 16 | √16 = 4 |
| 5 | 52 = 25 | √25 = 5 |
| 6 | 62 = 36 | √36 = 6 |
| 7 | 72 = 49 | √49 = 7 |
| 8 | 82 = 64 | √64 = 8 |
| 9 | 92 = 81 | √81 = 9 |
| 10 | 102 = 100 | √100 = 10 |
| 11 | 112 = 121 | √121 = 11 |
| 12 | 122 = 144 | √144 = 12 |
Cuando el número está en la tabla, la raíz es exacta (esos números se llaman cuadrados perfectos). Si no está, la raíz no es exacta: √50 está entre 7 y 8, porque 72 = 49 y 82 = 64. En muchos libros se dice que su raíz entera es 7 y el resto, 50 − 49 = 1.
Potencias en las operaciones combinadas
En una cuenta con varias operaciones, las potencias y las raíces se calculan después de los paréntesis y antes de multiplicar y dividir:
5 + 23 × 3
= 5 + 8 × 3
= 5 + 24
= 29
Tienes el orden completo, paso a paso, en las operaciones combinadas.
Errores frecuentes con las potencias
Multiplicar la base por el exponente
52 no es 10, es 5 × 5 = 25. Escribir la multiplicación completa las primeras veces lo evita.
Confundir 23 y 32
Parecen iguales, pero no lo son: 23 = 8 y 32 = 9. La base es el número grande; el exponente, el pequeño de arriba.
Contar mal los ceros
105 tiene cinco ceros: 100.000. Ayuda escribir los ceros de tres en tres, con su punto.
Creer que la raíz cuadrada es dividir entre 2
√16 no es 8, es 4, porque 4 × 4 = 16. La pregunta siempre es: «¿qué número por sí mismo da esto?».
Cómo ayudarle con las potencias en casa
- Que las tablas salgan solas. Las potencias son multiplicaciones; si duda con 7 × 7, repasad las tablas de multiplicar.
- Cuadrados de verdad: las baldosas del suelo o una hoja cuadriculada. Un cuadrado de 4 por 4 son 16 casillas.
- Preguntas rápidas con los cuadrados del 1 al 12, de ida («¿8 al cuadrado?») y de vuelta («¿raíz de 64?»).
- Que lo diga en voz alta: «tres a la cuarta es tres por tres por tres por tres».
Prueba: 3 ejercicios de potencias con solución
Elige la respuesta o escríbela y pulsa «Comprobar».
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¿Cómo se escribe 5 × 5 × 5 en forma de potencia?
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¿Cuánto es 52?
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¿Qué número es 3 × 103 + 5 × 102 + 2 × 10 + 8?
- m2
Preguntas frecuentes sobre potencias y raíces
¿Cuánto es un número elevado a 0?
Cualquier número distinto de 0 elevado a 0 es 1: 50 = 1 y 100 = 1. No todos los libros de Primaria lo explican; si aparece en el suyo, basta con recordarlo como regla.
¿Qué diferencia hay entre 23 y 32?
Que la base y el exponente cambian de sitio, y el resultado también: 23 = 2 × 2 × 2 = 8, y 32 = 3 × 3 = 9. En las potencias, el orden importa.
¿Cómo se calcula una raíz cuadrada que no es exacta?
Se busca entre qué dos cuadrados está el número. √30 está entre 5 y 6, porque 52 = 25 y 62 = 36. Su raíz entera es 5 y el resto, 30 − 25 = 5.