Múltiplos y divisores en 5.º y 6.º de Primaria

Múltiplos, divisores, números primos, mcm y mcd: en 5.º y 6.º llegan muchas palabras nuevas que se parecen y se lían. Aquí tienes cada una explicada con ejemplos sencillos, los criterios de divisibilidad y los errores que más se repiten.

Qué son los múltiplos

Los múltiplos de un número son los resultados de multiplicarlo por 1, 2, 3, 4… Es decir, su tabla de multiplicar, que sigue y sigue sin acabarse.

• Múltiplos de 4
  4, 8, 12, 16, 20…
• Múltiplos de 6
  6, 12, 18, 24, 30…

Un número tiene infinitos múltiplos, y él mismo es uno de ellos (4 × 1 = 4). En algunos libros también se multiplica por 0, y entonces el 0 aparece como múltiplo de todos. Si las tablas de multiplicar le salen solas, este tema le resultará mucho más fácil.

Qué son los divisores

Un número es divisor de otro si lo divide exactamente, es decir, si la división da resto 0. El 3 es divisor de 12 porque 12 : 3 = 4 y no sobra nada. El 5 no lo es, porque 12 : 5 = 2 y sobran 2.

Para encontrar todos los divisores de un número, lo más cómodo es buscar las parejas de multiplicaciones que dan ese número:

• Divisores de 12
  1 × 12 · 2 × 6 · 3 × 4
  1, 2, 3, 4, 6 y 12
• Divisores de 18
  1 × 18 · 2 × 9 · 3 × 6
  1, 2, 3, 6, 9 y 18

Se empieza por el 1 y se va subiendo. Cuando las parejas se repiten (después de 3 × 4 vendría 4 × 3), ya están todos. Un número tiene pocos divisores: siempre el 1 y él mismo, y ninguno es mayor que él.

Múltiplo, divisor y divisible

Son tres formas de decir lo mismo, mirado desde un lado o desde el otro:

• 12 es múltiplo de 3
• 3 es divisor de 12
• 12 es divisible por 3

Criterios de divisibilidad del 2, 3, 5 y 10

Son trucos para saber si un número se puede dividir exactamente entre otro sin hacer la división.

Con el 3 hay que sumar las cifras: mirar la última no sirve. 13 acaba en 3 y no es múltiplo de 3; 471 acaba en 1 y sí lo es (471 : 3 = 157). Y un número que acaba en 0 es divisible a la vez por 2, por 5 y por 10.

Números primos y compuestos

Un número primo solo tiene dos divisores: el 1 y él mismo. El 7 es primo, porque solo se puede dividir exactamente entre 1 y entre 7. Un número compuesto tiene más de dos divisores: el 12 es compuesto (1, 2, 3, 4, 6 y 12).

Los números primos hasta el 50 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 y 47.

• El 1 no es primo ni compuesto: solo tiene un divisor.
• El 2 es el único primo par.
• No todos los impares son primos: 9, 15, 21 y 27 son compuestos, porque se pueden dividir entre 3.

En clase se suelen buscar con la criba de Eratóstenes: en una tabla del 1 al 100 se tachan los múltiplos de 2, de 3, de 5 y de 7, sin tachar esos cuatro números. Los que quedan, quitando el 1, son primos.

Descomponer en factores primos (6.º)

En 6.º se aprende a escribir un número como una multiplicación de primos. Se divide entre el primo más pequeño posible hasta llegar a 1: 60 : 2 = 30; 30 : 2 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1. Por tanto, 60 = 2 × 2 × 3 × 5, que con potencias se escribe 2² × 3 × 5.

El mcm y el mcd, de forma sencilla

Mínimo común múltiplo (mcm)

Es el múltiplo más pequeño que comparten dos números (sin contar el 0). Se escriben los múltiplos de cada uno y se busca el primero que se repite:

• Múltiplos de 4
  4, 8, 12, 16, 20, 24…
• Múltiplos de 6
  6, 12, 18, 24…

mcm (4, 6) = 12. Sirve para saber cuándo vuelven a coincidir dos cosas que se repiten: si un autobús pasa cada 4 minutos y otro cada 6, y acaban de pasar juntos, volverán a coincidir dentro de 12 minutos. Más adelante también se usa para sumar fracciones con distinto denominador.

Máximo común divisor (mcd)

Es el divisor más grande que comparten dos números. Se escriben los divisores de cada uno y se busca el mayor que está en las dos listas:

• Divisores de 12
  1, 2, 3, 4, 6, 12
• Divisores de 18
  1, 2, 3, 6, 9, 18

mcd (12, 18) = 6. Sirve para repartir en grupos iguales, lo más grandes posible, sin que sobre nada: con 12 rotuladores rojos y 18 azules se pueden hacer, como mucho, 6 estuches iguales, cada uno con 2 rojos y 3 azules.

En 6.º, en muchos colegios se calculan también con la descomposición en factores primos, que va mejor con números grandes. Con números pequeños, escribir las listas es lo más claro.

Errores frecuentes con múltiplos y divisores

Confundir múltiplo y divisor

Decir que «3 es múltiplo de 12» es el fallo más típico. El múltiplo es siempre el grande (o igual).

Pensar que el 1 es primo

Para ser primo hacen falta exactamente dos divisores, y el 1 solo tiene uno.

Mirar la última cifra para el 3

Para el 2, el 5 y el 10 se mira la última cifra, pero para el 3 hay que sumar todas.

Olvidar divisores

El 1 y el propio número siempre están. Buscarlos por parejas evita dejarse alguno por el camino.

Cómo ayudarle con los múltiplos y divisores en casa

• Repasar las tablas. Sin ellas, cada múltiplo y cada divisor se convierte en una cuenta larga.
• Jugar a «¡pum!»: contad en voz alta por turnos y, en vez de decir los múltiplos de 3 (o de 4, o de 7), se dice «¡pum!».
• Cazar primos en los números de los portales o de las matrículas.
• Llevarlo a problemas de reparto y de coincidencias, como los de los problemas de 5.º, para que sepa cuándo usar el mcm y cuándo el mcd.

Preguntas frecuentes sobre múltiplos y divisores

¿Cuál es la diferencia entre múltiplo y divisor?

El múltiplo sale de multiplicar y es el número grande; el divisor divide exactamente y es el pequeño. 20 es múltiplo de 5, y 5 es divisor de 20. Un número tiene infinitos múltiplos, pero pocos divisores.

¿Cómo se sabe si un número es primo?

Se prueba a dividirlo entre 2, 3, 5, 7… Si ninguna división es exacta, es primo. Para números menores que 100 basta con probar 2, 3, 5 y 7. Ojo: 91 parece primo, pero 91 : 7 = 13.

¿En qué curso se dan los múltiplos y divisores?

Suelen empezar en 5.º, con múltiplos, divisores, criterios de divisibilidad y números primos. En 6.º se amplían con la descomposición en factores primos, el mcm y el mcd. Depende del colegio: en algunos, el mcm y el mcd aparecen ya en 5.º.